محاسبات عددی

این وبلاگ به منظور ارتقاء سطح علمی دانشجویان در درس محاسبات عددی منتشر می شود.

محاسبات عددی

این وبلاگ به منظور ارتقاء سطح علمی دانشجویان در درس محاسبات عددی منتشر می شود.

مبانی محاسبات عددی

جهشی که پیدایش کامپیوتر دردانشهای کاربردی پدیدآورد به یاری محاسبات عددی بود . ازاین رو اهمیت دانش محاسبات عددی کمترازدانش کامپیوتر نیست . همانگونه که می دانیم بسیاری ازمسائل ریاضی رانمی توان بطور تحلیلی حل نمود وجواب دقیق آنها رابه دست آورد . دربیشتر موارد تنها راه توصیف رفتار جواب یک مساله آن است که مساله رابایک روش عددی تقریب بزنیم  بطوری که بتوانیم اعدادی تولید کنیم که نمایانگر جواب مساله باشند . خطا ودقت تقریب زدن آشکارترین تفاوت روشهای عددی وروشهای تحلیلی است . ازاین رو دراستفاده ازروشهای عددی همواره باید به پیدایش وگسترش خطاهای عددی آگاه بود و راههای جلوگیری ازآنرا فراگرفت .

نمایش کامپیوتر اعدادی
سیستم اعدادی که بطور روزمره ازآن استفاده می کنیم سیستم اعشاری یاده دهی نامیده می شود . اما کامپیوترها عموما محاسبات را درسیستم دودوئی انجام می دهند . به این صورت که اعداد درسیستم اعشاری به عنوان ورودی به کامپیوتر داده می شوند . کامپیوتر پس ازاعداد به سیستم دودوئی وانجام محاسبات لازم نتیجه را درسیستم اعشاری به عنوان خروجی ارائه می دهد . پس لازم است نمایش یک عدد را درسیسمتهای مختلف بدانیم .



سیستم های عدد نویسی
سیستم های عددنویسی متداول عبارتنداز :
سیستم عدد نویسی دهدهی Decimal
سیستم عدد نویسی باینری Binary
سیستم عدد نویسی هشت تائی Octal
سیستم عدد نویسی شانزده تائی Hexa Decimal

هر عدد حقیقی مثبت x نمایش منحصر به فرد بصورت زیر دارد .

(1) . . .+ 2-B 2-a + 1-B 1-a + a0 +... + Bm-1 1- am + Bm x = am
که2B> یک عدد صحیح است و m عددی است متناهی وB< ak< B می باشد . دراین نمایش B مبنا و
نامیده میشود . برای مثال اگر : 5087/412= x و B=10 باشد آنگاه
4- 10*7+ 3- 10*8+2- 10*0+ 1- 10*5+ 0 10*2+ 1 10*1+ 2 10*4= x
اگر 8 = x باشد
3
.... + 2- 10*6+ 1- 10*6+ 0 10*2 = 666000/2 = x
درحالی که 2B = باشد نمایش x بصورت
را نمایش اعشاری یادهدهی می نامند ودرحالی که 2B = نمایش x را دودوئی می نامند . دراین حالت ضرایب akدرمعادله (1) برابر 0 یا 1 می باشد .
توجه کنید که درمثال x دارای یک بسط اعشاری متناهی است ودرمثال دوم x دارای بسط اعشاری نامتناهی است به این دلیل عدد 66600/2 = x را نمی توان به طور دقیق دریک کامپیوتر نمایش داد به دلیل آنکه کامپیوترها تعداد محدودی ازارقام یک عدد رانمی توانند ذخیره نمایند . به این ترتیب خطائی وارد محاسبات می شود . حتی اگر عددی که به عنوان ورودی داده می شود دارای بسط اعشاری متناهی باشد دربرگرداندن آن به دودوئی امکان رخ دادن خطا وجود دارد .

سرفصل درس محاسبات عددی


1_ مبانی محاسبات عددی ونحوه ذخیره سازی اطلاعات درکامپیوترهای عددی _ 1 جلسه
2_ خطا ودقت تقریب زدن _ 1 جلسه
3_ محاسبه تقریبی ریشه های معادله جبری _ 3 جلسه
4_ حل دستگاه معادلات خطی _ 2 جلسه
روش گاوس _ گاوس جوردن _ گاوس سایدل _ تجزیه ماتریس باروش دولیتل _ روشهای تکراری _ مقادیر ویژه وبردارهای ویژه یک ماتریس
5_‍ حل دستگاه معادلات خطی _ 1 جلسه - روش تیلور

6_درونیابی وبرونیابی _ 2 جلسه
• نقاط هم فاصله روش چند جمله ای درونیات تابع f(x) به کمک تفاضلات متناهی پیشرو نیوتن
• نقاط درونیاب متساوی الفاصله نباشند  درونیاب لاگرانژ
• کوچکترین مجموع مربعات
7_ مشتق وانتگرالگیری عددی _ 2 جلسه
محاسبه مشتق مرتبه اول ودوم _ انتگرالگیری قاعده ذوزنقه _ قاعده سیمسون _ قاعده نقطه میانی
8_ معادلات دیفرانسیل _ 2 جلسه

سوالات تکلمیلی بخش خطا و تقریب زدن

سوالات تکلمیلی این بخش:

1-هرگاه اعداد تا ارقام داده شده درست باشند مقدار عبارت زیر را تا ارقام درست محاسبه کنید

6.49 * 3.14
------------
2.7

2-مقدار عبارت زیر با استفاده از فرمول تیلور تقریب بزنید.